Gradient

http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient

In vector calculus, the gradient of a scalar field is a vector field which points in the direction of the greatest rate of increase of the scalar field, and whose magnitude is the greatest rate of change.

Gradient là một vector

Ví dụ: Nhiệt độ trong một căn phòng là một đại lượng vô hướng T. Giả sử T không thay đổi theo thời gian, tại mỗi điểm trong căn phòng tọa độ (x, y, z) có một nhiệt độ nhất định, T(x, y, z)
Việc tính gradient của T tại một điểm, hướng của vector gradient sẽ chỉ cho ta biết hướng nào nhiệt độ tăng nhanh nhất tại điểm đó và độ lớn của vector gradient sẽ cho biết nhiệt độ tăng nhanh như thế nào

Definition:

The gradient of the function f(x,y) = −(cos²x + cos²y)² depicted as a vector field on the bottom plane

The gradient (or gradient vector field) of a scalar function is denoted or where (the nabla symbol) denotes the vector differential operator, del. The notation is also used for the gradient. The gradient of f is defined to be the vector field whose components are the partial derivatives of f. That is:

Here the gradient is written as a row vector, but it is often taken to be a column vector. When a function also depends on a parameter such as time, the gradient often refers simply to the vector of its spatial derivatives only.
The gradient of a vector is
or the transpose of the Jacobian matrix .
It is a second-rank tensor.
More generally, the gradient may be defined using the exterior derivative: